Question

【題目】如圖，在四棱錐中，為正三角形，為線段的中點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若，求直線與平面所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取的中點，根據中位線可得，在根據垂直關系可證得；根據面面平行的判定定理可證得平面；利用面面平行性質定理證得結論；（Ⅱ）根據線面垂直判定定理可證得平面，從而可以以為坐標原點建立空間直角坐標系，利用線面角的向量求法可求得結果.

（Ⅰ）證明：取的中點，連接，如圖所示：

分別為中點

為等邊三角形

又

又 平面平面

又平面 平面

（Ⅱ）為正三角形，，

，

連接，，則為的中點

，

又，

又 平面

以為坐標原點，所在直線分別為，軸，建立如圖所示空間直角坐標系

則，，，，

，，

設平面的法向量為

，令，則，

設直線與平面所成角為

則直線與平面所成角的正弦值為：