Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC．
（1）求cosA，sinA的值；
（2）若cosB+cosC= ，求cosC+ sinC的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，3acosA=bcosC+ccosB，

由正弦定理可知：3sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB，

可得3sinAcosA=sin（B+C）=sinA，

∵A為三角形內角，sinA≠0，

∴cosA= ，sinA= =

（2）解：∵cosB+cosC=cosB﹣cos（A+B）= ，

∴cosB﹣cosAcosB+sinAsinB=cosB﹣ cosB+ sinB= ，可得：cosB+ sinB= ，

∴ =3，化簡可得：tan2B﹣2 tanB+2=0，解得：tanB= ，

∴cosB= = ，sinB= = ，

∴cosC=﹣cos（A+B）=sinAsinB﹣cosAcosB= × ﹣ = ，sinC= = ，

∴cosC+ sinC= + =

【解析】（1）通過正弦定理化簡已知條件，利用兩角和的正弦函數與二倍角公式，結合誰教你的內角和即可求A；（2）由三角形內角和定理化簡已知可得：cosB+ sinB= ，解得tanB，cosB，sinB的值，利用兩角和的余弦函數公式可求cosC，進而可求sinC的值，即可計算得解．
【考點精析】本題主要考查了正弦定理的定義和余弦定理的定義的相關知識點，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;才能正確解答此題．