Question

【題目】已知函數 ，g（x）=b（x+1），其中a≠0，b≠0
（1）若a=b，討論F（x）=f（x）﹣g（x）的單調區間；
（2）已知函數f（x）的曲線與函數g（x）的曲線有兩個交點，設兩個交點的橫坐標分別為x1 ， x2 ， 證明： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得 ，

∴ ，

當0＜x＜1時，∵1﹣x2＞0，﹣lnx＞0，∴1﹣x2﹣lnx＞0，；

當x＞1時，∵1﹣x2＜0，﹣lnx＜0，∴1﹣x2﹣lnx＜0．

故若a＞0，F（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減；

故若a＜0，F（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增

（2）解：不妨設x1＞x2，依題意 ，

∴ ，同理得

由①﹣②得，∴ ，

∴ ，

∴ ，

故只需證 ，

取∴ ，即只需證明 成立，

即只需證 成立，

∵ ，

∴p（t）在區間[1，+∞）上單調遞增，

∴p（t）＞p（1）=0，t＞1成立，

故原命題得證

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可（2）問題轉化為證 ， ，只需證明 成立，根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．