Question

【題目】已知函數．

（1）求函數的單調增區間；

（2）若存在，使得（是自然對數的底數），求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）先求原函數的導數得：f'（x）= ，再對a進行討論，得到f'（x）＞0，從而函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增．

（2）f（x）的最大值減去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由單調性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的單調性，判斷f（1）與f（﹣1）的大小關系，再由f（x）的最大值減去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范圍．

試題解析：

（1）由于，

1° 當單調遞增， ，所以單調遞增，

故單調遞增，

∴，即，所以，

故函數在上單調遞增；

2° 當單調遞增， ，所以單調遞增，故單調遞增，

∴，即，所以，

故函數在上單調遞增；綜上，函數的單調增區間為．

（2）因為存在，使得，

所以當時， ，

由（1）知， 在上遞減，在上遞增，

所以當時，

而，

記，因為（當時取等號），

所以在上單調遞增，而．

1° 當時， ， ∴， ∴當時， ，

即，易知： ，在上遞增， ∴．

2° 當時， ， ∴，

易知在上遞減， ∴，綜上： ．