Question

已知函數f(x)=x⁴-4x³+ax²-1在區間[0，1]上單調遞增，在區間[1，2]上單調遞減，(1)求a的值；

　　(2)若點A(x₀，f(x₀))在函數f(1)的圖象上，求證點A關于直線x=1的對稱點B也在函數f(x)的圖象上；

　　(3)是否存在實數6，使得函數g(x)=bx²-1的圖象與函數f(x)的圖象恰有3個交點？若求出實數b的值；若不存在，試說明理由。

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：∵ 函數在區間[0，1]上單調遞增，在區間[1， 　　  2]上單調遞減， 　　  ∴ 時，y取得極大值。 　　  ∴ f′(x)=0 　　  ∵ f′(x)=4x3-12x2+2ax， 　　  ∴ 4-12+2a 　　  ∴ a=4 　　  (2)證明：點A(x0，f(x0))關于直線x=1的對稱點B的坐標為(2-x0，f(x0))。 　　  f(2-x0)=(2-x0)4-4(2-x0)3+(2-x0)2-1 　　　　　　   =(2-x0)2[(2-x0)-22]-1 　　　　　　   =x04-4x03+4x0-1 　　　　   　　=f(x0) 　　   ∴ 點A關于直線x=1的對稱點B也在函數f(x)的圖象上。 　　  (3)解：函數g(x)=bx2-1的圖象與函數f(x)的圖象恰有3個交點，等價于方程恰有3個不等實根。 　　  　　  ∵ x=0是其中一個根， 　　  ∴ 方程有兩個非零不等實根。 　　  .