Question

（2012•湖北）如圖1，∠ACB=45°，BC=3，過動點A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上且異于點B，連接AB，沿AD將△ABD折起，使∠BDC=90°（如圖2所示），
（1）當BD的長為多少時，三棱錐A-BCD的體積最大；
（2）當三棱錐A-BCD的體積最大時，設點E，M分別為棱BC，AC的中點，試在棱CD上確定一點N，使得EN⊥BM，并求EN與平面BMN所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）設BD=x，先利用線面垂直的判定定理證明AD即為三棱錐A-BCD的高，再將三棱錐的體積表示為x的函數，最后利用導數求函數的最大值即可；
（2）由（1）可先建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標和相關向量的坐標，設出動點N的坐標，先利用線線垂直的充要條件計算出N點坐標，從而確定N點位置，再求平面BMN的法向量，從而利用夾角公式即可求得所求線面角

解答：解：（1）設BD=x，則CD=3-x
∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3-x
∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D
∴AD⊥平面BCD
∴V_A-BCD=

1

3

×AD×S_△BCD=

1

3

×（3-x）×

1

2

×x（3-x）=

1

6

（x³-6x²+9x）
設f（x）=

1

6

（x³-6x²+9x）  x∈（0，3），
∵f′（x）=

1

2

（x-1）（x-3），∴f（x）在（0，1）上為增函數，在（1，3）上為減函數
∴當x=1時，函數f（x）取最大值
∴當BD=1時，三棱錐A-BCD的體積最大；
（2）以D為原點，建立如圖直角坐標系D-xyz，
由（1）知，三棱錐A-BCD的體積最大時，BD=1，AD=CD=2
∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1），E（

1

2

，1，0），且

BM

=（-1，1，1）
設N（0，λ，0），則

EN

=（-

1

2

，λ-1，0）
∵EN⊥BM，∴

EN

•

BM

=0
即（-1，1，1）•（-

1

2

，λ-1，0）=

1

2

+λ-1=0，∴λ=

1

2

，∴N（0，

1

2

，0）
∴當DN=

1

2

時，EN⊥BM
設平面BMN的一個法向量為

n

=（x，y，z），由

n • BN =0 n • BM =0

及

BN

=（-1，

1

2

，0）
得

y=2x z=-x

，取

n

=（1，2，-1）
設EN與平面BMN所成角為θ，則

EN

=（-

1

2

，-

1

2

，0）
sinθ=|cos＜

EN

，

n

＞|=|

EN • n

| EN |•| n |

|=

|- 1 2 -1|

6 × 2 2

=

3

2

∴θ=60°
∴EN與平面BMN所成角的大小為60°

點評：本題主要考查了線面垂直的判定，折疊問題中的不變量，空間線面角的計算方法，空間向量、空間直角坐標系的運用，有一定的運算量，屬中檔題