Question

設函數．
（1）當，時，求所有使成立的的值。
（2）若為奇函數，求證：；
（3）設常數＜，且對任意x，＜0恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

解：（1）或；（2）見解析 ；（3）＜ ＜．            

本試題主要是考查了函數的奇偶性與函數與不等式關系的運用，以及函數解析式的綜合運用。
（1）當，時，函數．
 
或
（2）若為奇函數,則對任意的都有恒成立，則展開可得。
（3）由＜＜0， 當x=0時取任意實數不等式恒成立．
當0＜x≤1時,＜0恒成立，也即＜＜恒成立．
從而構造函數得到結論。
解：（1）當，時，函數．
 
或
（2） 若為奇函數,則對任意的都有恒成立，
即，
令x=0得b=0，令x=a得a=0，∴       
（3）由＜＜0， 當x=0時取任意實數不等式恒成立．
當0＜x≤1時,＜0恒成立，也即＜＜恒成立．
令在0＜x≤1上單調遞增，∴＞．                        
令，則在上單調遞減，單調遞增
當＜時，在0＜x≤1上單調遞減；
∴＜，∴ ＜＜．                          
當≤＜時   ≥．
∴ ＜．∴＜ ＜．