Question

【題目】設函數（），，

(Ⅰ) 試求曲線在點處的切線l與曲線的公共點個數；(Ⅱ) 若函數有兩個極值點，求實數a的取值范圍．

（附：當，x趨近于0時， 趨向于）

Answer 1

【答案】（1）兩個公共點；（2）．

【解析】試題分析：（1）計算出及，根據點斜式可得切線方程，將切線方程與聯立可得方程，設，對其求導，可得其在內的單調性，結合， ，可得零點個數；（2）題意等價于在至少有兩不同根，當時， 是的根，根據圖象的交點可知有一個零點，除去同根；當顯然不合題意；當時，題意等價于在至少有兩不同根，對其求導判斷單調性，考慮極值與兩端的極限值可得結果.

試題解析：（1）∵， ，

切線的斜率為，

∴切線的方程為，即，

聯立，得；

設，則，

由及，得或，

∴在和上單調遞增，可知在上單調遞減，

又， ，所以， ，

∴方程有兩個根：1和，從而切線與曲線有兩個公共點．

(2)由題意知在至少有兩不同根，

設，

①當時， 是的根，

由與（）恰有一個公共點，可知恰有一根，

由得，不合題意，

∴當且時，檢驗可知和是的兩個極值點；

②當時， 在僅一根，所以不合題意；--9分

③當時，需在至少有兩不同根，

由，得，所以在上單調遞增，

可知在上單調遞減，

因為， 趨近于0時， 趨向于，且時， ，

由題意知，需，即，解得，

∴．

綜上知， ．