Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若在區(qū)間上的最小值為，求的取值范圍；

（Ⅲ）若對任意，有恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）把a=1代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)后求出f′（1），同時(shí)求出f（1），由點(diǎn)斜式寫出切線方程；
（Ⅱ）求出函數(shù)的定義域，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)一步求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，分和三種情況討論三種情況討論原函數(shù)的單調(diào)性，由f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為-2求解的取值范圍；
（Ⅲ）構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=f（x）+2x，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求解的范圍．把函數(shù)g（x）求導(dǎo)后分 =0和≠0討論， ≠0時(shí)借助于二次函數(shù)過定點(diǎn)及對稱軸列式求解．

試題解析：

（1）由，則

，所以切線方程為

（2）

令

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減， （舍）

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增， （舍）

綜上，

（3）令

令，只要在上單調(diào)遞增即可.

在上恒成立.

在上恒成立.

當(dāng)時(shí)， 恒成立；

當(dāng)時(shí)，原不等式

當(dāng)時(shí)，原不等式，左邊無最大值，不合題意（舍）

綜上， .