Question

已知實數(shù)a₁，a₂，a₃不全為零，
（i）則

a1a2+2a2a3

a 2 1 + a 2 2 + a 2 3

的最大值為

 

；
（ii）設正數(shù)x，y滿足x+y=2，令

xa1a2+ya2a3

a 2 1 + a 2 2 + a 2 3

的最大值為M，則M的最小值為

 

．

Answer 1

分析：觀察分式的分子和分母的代數(shù)式的不同，進行拆分a₂²項，構造均值不等式求最值．

解答：解：由題意知：
（1）

a1a2+2a2a3

a 2 1 + a 2 2 + a 2 3

=

a1a2+2a2a3

a 2 1 + 1 5 a 2 2  + 4 5 a 2 2 + a 2 3

≤

a1a2+2a2a3

2 a 2 1 a 2 2 5 +2 4 a 2 2 a 2 3 5

=

a1a2+2a2a3

2 5  ( a1a2 +2a2a3)

=

5

2

（2）

xa1a2+ya2a3

a 2 1 + a 2 2 + a 2 3

=

xa1a2+ya2a3

a 2 1 + x2 x2+y2 a 2 2 + y2 x2+y2 a 2 2 + a 2 3

≤

xa1a2+ya2a3

2 xa1a2 x2+y2  +2 ya2a3 x2+y2

=

x2+y2

2

∴M=

x2+y2

2

即M≥

2

2

(

x+y

2

)=

2

2

∴M的最小值為 

2

2

． 
故（1）

5

2

  （2）

2

2

點評：本題對均值不等式的靈活熟練運用的程度要求比較高，屬中檔偏上題型．