Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，又平面，且，點在棱上，且．

（1）求異面直線與所成的角的大小；

（2）求證：平面；

（3）求二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）由于直線與不在同一平面內，要把兩條異面直線移到同一平面內，做，

異面直線與所成的角與與所成的角相等；（2）由三角形中等比例關系可得，由于得，，可知三角形為直角三角形，即．同時利用勾股定理也可得，即可得平面．即，即可得證；（3）連接，交于點，則．過點作于點，連接，則，則為二面角的平面角．

試題解析：（1）取中點，連接，則，且，

∴四邊形是平行四邊形，∴，

∴（或其補角）為異面直線與所成的角，

∵平面，∴，．

∵，∴，∴．

∴是正三角形，

即異面直線與所成的角等于．

（2）在中，，，∴

∵，∴則，∴，∴

由（1）知，，∴．

∴、又平面，∴，

∵，∴平面，∴

∵，∴平面，

（2）連接，交于點，則，

∵平面，∴平面平面，∴平面，

過點作于點，連接，則，

∴為二面角的平面角．

在中，．

在中，．

在中，．

∴．

即二面角的大小為．