Question

【題目】已知函數.

（1）若函數在定義域單調遞增，求實數的取值范圍；

（2）令， ，討論函數的單調區間；

（3）如果在（1）的條件下， 在內恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】試題分析：（1）即恒成立，再參變分離得最大值，利用基本不等式求最值得（2）先求導數得，再根據導函數是否變號進行分類討論：若，導函數不變號，在單調遞增；若，導函數先正后負，即先增后減（3）先將不等式恒成立問題轉化為對應函數最值問題： ，其中，再利用導數研究得在上單調遞增，即得，解得實數的取值范圍.

試題解析：（1），因為在定義域單調遞增，所以恒成立

即

而（當且僅當時等號成立），故即為所求.

（2），

①若， ，則在單調遞增

②若，令， ， ，

則在單調遞增，在單調遞減

（3）由題意，須對任意恒成立，

設，

∵， ，∴ ， ，

∴即在上單調遞增，

若對任意恒成立，

則應令

綜上所述， 即為所求.