Question

【題目】已知函數f（x）=aln（x+1）﹣x2在區間（0，1）內任取兩個實數p，q，且p≠q，不等式 ＞1恒成立，則實數a的取值范圍為（ ）
A.[15，+∞）
B.（﹣∞，15]
C.（12，30]
D.（﹣12，15]

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵ 的幾何意義為： 表示點（p+1，f（p+1）） 與點（q+1，f（q+1））連線的斜率，
∵實數p，q在區間（0，1）內，故p+1 和q+1在區間（1，2）內．
不等式 ＞1恒成立，
∴函數圖象上在區間（1，2）內任意兩點連線的斜率大于1，
故函數的導數大于1在（1，2）內恒成立．
由函數的定義域知，x＞﹣1，
∴f′（x）= ＞1 在（1，2）內恒成立．
即 a＞2x2+3x+1在（1，2）內恒成立．
由于二次函數y=2x2+3x+1在[1，2]上是單調增函數，
故 x=2時，y=2x2+3x+1在[1，2]上取最大值為15，
∴a≥15
∴a∈[15，+∞）．
故選A．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數單調性的判斷方法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．