Question

數列的各項均為正數，為其前項和，對于任意，總有成等差數列．
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）設數列的前項和為 ，且，求證:對任意正整數，總有 2；
（Ⅲ）正數數列中，，求數列中的最大項．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）證明略
（Ⅲ）數列中的最大項為

（Ⅰ）解：由已知：對于，總有 ①成立
∴  （n ≥ 2）②
①--②得
∴
∵均為正數，∴  （n ≥ 2）
∴數列是公差為1的等差數列
又n=1時，，解得=1
∴．（）  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………4分（Ⅱ）證明：，當時，

　　　　　　　　 …………8分
（Ⅲ）解：由已知 ，

易得　
猜想 時，是遞減數列．
令
∵當
∴在內為單調遞減函數．．
由．．
∴ 時, 是遞減數列．即是遞減數列，
又 , ∴數列中的最大項為．　　　　　。…………12分