Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，設橢圓E： =1（a＞b＞0），其中b= a，F為橢圓的右焦點，P（1，1）為橢圓E內一點，PF⊥x軸．

（1）求橢圓E的方程；
（2）過P點作斜率為k1 ， k2的兩條直線分別與橢圓交于點A，C和B，D．若滿足|AP||PC|=|BP||DP|，問k1+k2是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵F為橢圓的右焦點，P（1，1）為橢圓E內一點，PF⊥x軸．

∴c=1，又b= a，a2=b2+c2，

聯立解得：a=2，b= ．

∴橢圓方程為

（2）解：設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．

AC：y=k1（x﹣1）+1，與橢圓聯立，得 ，

∴ ，

，

同理， ．

故 ，∴k1+k2=0．

【解析】（1）由題意可得：c=1，又b= a，a2=b2+c2 ， 聯立解出即可得出．（2）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），C（x3 ， y3），D（x4 ， y4）．AC：y=k1（x﹣1）+1，BD：y=k2（x﹣1）+1，分別與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系、兩點之間的距離公式即可得出．