Question

【題目】已知

（1）求函數在區間上的最小值；

（2）對一切實數恒成立，求實數的取值范圍；

（3）證明：對一切， 恒成立.

Answer 1

【答案】（1）;（2）4；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）求出，分三種情況討論，分別令 得增區間， 得減區間，從而可得函數在區間上的最小值；（2）等價于，只需以即可；（3）問題等價于證明，由的最小值是， 最大值為.

試題解析：（1），當， ， 單調遞減，當， ，

單調遞增．············ 2分

①，t無解；

②，即時，

③，即時， 在上單調遞增，

所以．········· 5分

（2），則，

設，則，

， ， 單調遞增， ， ，

單調遞減，所以，因為對一切， 恒成立，

所以；

（3）問題等價于證明，

由⑴可知的最小值是，當且僅當時取到，

設，則，易得，當且僅當時取到，從而對一切，都有成立．