Question

【題目】已知橢圓．

（1）若橢圓的離心率為，求的值；

（2）若過點任作一條直線與橢圓交于不同的兩點，在軸上是否存在點，使得， 若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】

試題（Ⅰ）橢圓的離心率 求解；（Ⅱ）若滿足,則直線的斜率之和 ，那么設直線方程與橢圓方程聯立，得到根與系數的關系，代入 ，利用和恒為0的條件，求得定點.

試題解析： （Ⅰ）因為，，所以.又有，得.

（Ⅱ）若存在點，使得，則直線和的斜率存在，分別設為，且滿足.依題意，直線的斜率存在，故設直線的方程為.由，得.因為直線與橢圓有兩個交點，所以.即，解得.設，，則，，，.令，，，當時，，所以，化簡得，，所以.當時，檢驗也成立.所以存在點，使得.