Question

如圖，線段EF的長度為1，端點E、F在邊長不小于1的正方形ABCD的四邊上滑動，當E、F沿著正方形的四邊滑動一周時，EF的中點M所形成的軌跡為G，若G的周長為l，其圍成的面積為S，則l－S的最大值為________．

Answer 1

設正方形的邊長為a(a≥1)，當E、F沿著正方形的四邊滑動一周時，EF的中點G的軌跡如圖，

是由半徑均為的四段圓弧、長度均為a－1四條線段圍成的封閉圖形，周長l＝π＋4(a－1)，面積S＝a²－π，所以l－S＝－a²＋4a＋π－4，a≥1，由二次函數知識得當a＝2時，l－S取得最大值.