Question

【題目】已知函數f（x）=ln（x+1）+ax2 ， a＞0．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若函數f（x）在區間（﹣1，0）有唯一零點x0 ， 證明： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由（1）及f（0）=0可知：僅當極大值等于零，即f（x1）=0時，符合要求．

此時，x1就是函數f（x）在區間（﹣1，0）的唯一零點x0．

所以 ，從而有 ，

又因為 ，所以 ，

令x0+1=t，則 ，

設 ，則 ，

再由（1）知： ，h'（t）＜0，h（t）單調遞減，

又因為 ， ，

所以e﹣2＜t＜e﹣1，即

（2）解：由（1）及f（0）=0可知：僅當極大值等于零，即f（x1）=0時，符合要求．

此時，x1就是函數f（x）在區間（﹣1，0）的唯一零點x0．

所以 ，從而有 ，

又因為 ，所以 ，

令x0+1=t，則 ，

設 ，則 ，

再由（1）知： ，h'（t）＜0，h（t）單調遞減，

又因為 ， ，

所以e﹣2＜t＜e﹣1，即

【解析】（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間；（2）求出 ，得到 ，令x0+1=t，則 ，設 ，根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．