Question

某校從參加高一年級期中考試的學生中隨機抽取60名學生，將其數學成績（均為整數）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后得到如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：
（Ⅰ）求分數在[70，80）內的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；
（Ⅱ）統計方法中，同一組數據常用該組區間的中點值作為代表，據此估計本次考試的平均分；
（Ⅲ）用分層抽樣的方法在分數段為[60，80）的學生中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至多有1人在分數段[70，80）的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）頻率分布直方圖中，小矩形的面積等于這一組的頻率，而頻率的和等于1，可求出分數在[70，80）內的頻率，即可求出矩形的高，畫出圖象即可；
（Ⅱ）同一組數據常用該組區間的中點值作為代表，將中點值與每一組的頻率相乘再求出它們的和即可求出本次考試的平均分；
（Ⅲ）先計算[60，70）、[70，80）分數段的人數，然后按照比例進行抽取，設從樣本中任取2人，至多有1人在分數段[70，80）為事件A，然后列出基本事件空間包含的基本事件，以及事件A包含的基本事件，最后將包含事件的個數求出題目比值即可．

解答：解：（Ⅰ）分數在[70，80）內的頻率為：1-（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1-0.7=0.3，
故

0.3

10

=0.03，
如圖所示：（4分）（求頻率（2分），作圖2分）

（Ⅱ）平均分為：

.

x

=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．（6分）
（Ⅲ）由題意，[60，70）分數段的人數為：0.15×60=9人；（7分）
[70，80）分數段的人數為：0.3×60=18人；（8分）
∵在[60，80）的學生中抽取一個容量為6的樣本，
∴[60，70）分數段抽取2人，分別記為m，n；[70，80）分數段抽取4人，分別記為a，b，c，d；
設從樣本中任取2人，至多有1人在分數段[70，80）為事件A，
則基本事件空間包含的基本事件有：（m，n）、（m，a）、（m，b）、（m，c）、（m，d）、（c，d）共15種，（10分）
則事件A包含的基本事件有：（m，n）、（m，a）、（m，b）、（m，c）、（m，d）、（n，a）、（n，b）、（n，c）、（n，d）共9種，（11分）
∴P(A)=

9

15

=

3

5

．（12分）

點評：本題主要考查了頻率及頻率分布直方圖，以及平均數和概率的有關問題，考查運用統計知識解決簡單實際問題的能力，數據處理能力和運用意識．