Question

如圖，在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.

(1)證明：AA1⊥BD；

(2)證明：CC1∥平面A1BD.

 

Answer 1

見解析

【解析】(1)法一因為D1D⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，所以D1D⊥BD.

在△ABD中，由余弦定理，得

BD2＝AD2＋AB2－2AD·ABcos∠BAD.

又因為AB＝2AD，∠BAD＝60°，所以BD2＝3AD2.

所以AD2＋BD2＝AB2，因此AD⊥BD.

又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1.

又AA1?平面ADD1A1，所以AA1⊥BD.

法二因為DD1⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，

所以BD⊥D1D.

如圖1，取AB的中點G，連接DG.

圖1

在△ABD中，由AB＝2AD，得AG＝AD.又∠BAD＝60°，所以△ADG為等邊三角形，所以GD＝GB，故∠DBG＝∠GDB.

又∠AGD＝60°，所以∠GDB＝30°，

所以∠ADB＝∠ADG＋∠GDB＝60°＋30°＝90°，

所以BD⊥AD.

又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1.

又AA1?平面ADD1A1，所以AA1⊥BD.

(2)如圖2，連接AC，A1C1.

設AC∩BD于點E，

圖2

連接EA1.

因為四邊形ABCD為平行四邊形，

所以EC＝AC.

由棱臺的定義及AB＝2AD＝2A1B1知，

A1C1∥EC且A1C1＝EC，

所以四邊形A1ECC1為平行四邊形，

因此CC1∥EA1.

又因為EA1?平面A1BD，CC1?平面A1BD，

所以CC1∥平面A1BD.