Question

(1)橢圓C:+=1(a＞b＞0)與x軸交于A、B兩點,點P是橢圓C上異于A、B的任意一點,直線PA、PB分別與y軸交于點M、N,求證:AN·BM為定值b²-a².

(2)由(1)類比可得如下真命題:雙曲線C:-=1(a＞0,b＞0)與x軸交于A、B兩點,點P是雙曲線C上異于A、B的任意一點,直線PA、PB分別與y軸交于點M、N,求證:AN·BM為定值.請寫出這個定值(不要求給出解題過程).

Answer 1

(1)證明:設點P(x₀,y₀),x₀≠±a.依題意,得A(-a,0),B(a,0),

∴直線PA的方程為y=(x+a).

令x=0,得y_m=,4分同理得y_n=,

∴y_my_n=.∵點P(x₀,y₀)是橢圓C上一點,∴=1.∴y₀²=(a²-x₀²).

∴y_my_n==b².8分∵=(a,y_n),=(-a,y_m),∴·=-a²+y_my_n=b²-a².10分

(2)-(a²+b²).