Question

定義域為R的函數y=f（x）對于任意x都有f(x+2)=

2

f(x)，當x∈[0，2]時f(x)=sin(

π

2

x)，則方程f(x)-

x

=0，x∈[0，8]的根的個數為（　　）

A．7

B．6

C．5

D．4

Answer 1

分析：根據已知條件先求出函數y=f（x）在區間[0，8]上的解析式，然后再同一坐標系中畫出函數y=f（x）、y=

x

的圖象，根據函數的單調性并結合函數的圖象即可得出二圖象的交點個數．
即方程f（x）-

x

=0的根的個數．

解答：解：設x∈（2，4]時，（x-2）∈（0，2]，∴f（x）=

2

sin[

π

2

(x-2)]=-

2

sin(

π

2

x)；
同理x∈（4，6]，f（x）=2sin(

π

2

x)；x∈（6，8]，f（x）=-2

2

sin(

π

2

x)．
即f（x）=

sin( π 2 x)，當x∈[0，2]時 - 2 sin( π 2 x)，當x∈(2，4]時 2sin( π 2 x)，當x∈(4，6]時 -2 2 sin( π 2 x)，當x∈(6，8]時

在同一坐標系中分別畫出函數y=f（x）、y=

x

的圖象，如圖所示．
①當x≤x≤1時，∵f（0）=0=

0

，f(

1

2

)=

2

2

=

1 2

，f（1）=1=

1

，∴在區間[0，1]上有三個交點；
②當1＜x≤6時，由圖象可以看出函數y=f（x）與y=

x

的圖象無交點；
③當6＜x＜8時，∵

7

＜f(7)=2

2

，由圖象和函數的單調性可得：在此區間內有兩個交點．
④當x=8時，f（8）=0＜

8

，無交點．
綜上可知：在區間[0，8]內，函數y=f（x）與y=

x

的交點共有5個，即方程f（x）-

x

=0在區間x∈[0，8]的根的個數為5．
故選C．

點評：由已知條件正確求出函數y=f（x）的解析式并畫出函數y=f（x）、y=

x

的圖象是解題的關鍵．數形結合思想方法是解此類題目常用的方法之一．