Question

【題目】已知橢圓：（）的右頂點為．左、右焦點分別為，，過點且垂直于軸的直線交橢圓于點（在第象限），直線的斜率為，與軸交于點．

（1）求橢圓的標準方程;

（2）過點的直線與橢圓交于、兩點（、不與、重合），若，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）或．

【解析】

（1）根據條件建立方程組進行求解；

（2）先驗證設直線的斜率不存在時是否符合題意，再設直線的斜率為，聯立方程組，根與系數的關系 ，結合，可將（或的坐標用表示，再利用點在橢圓上，求得，從而求得的方程.

解：（1），，由題意得

解得，

因此橢圓的標準方程為．

（2）由得，即

若直線的斜率不存在，則，，不滿足

因此直線的斜率存在，設為，

由，得

恒成立

設，，則

由，，得

，從而

即

代入橢圓方程，得

解得，即

因此直線的方程為，即或．