Question

【題目】已知函數 是的一個極值點.

（1）求函數的單調區間；

（2）若當時，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調增區間為（﹣∞，1），（2，+∞）；單調減區間為（1，2）.（2）0＜a＜1．

【解析】

（1）求導函數，利用f'（2），可求b的值，進而利用f'（x）＞0可得函數f（x）的單調增區間，f'（x）＜0可得函數f（x）的單調減區間；

（2）x∈[1，+∞）時，恒成立等價于，由此可求a的取值范圍．

（1）求導函數，可得f'（x）＝x2﹣2bx+2

∵x＝2是f（x）的一個極值點

∴f'（2）＝4﹣4b+2＝0，∴，∴f'（x）＝x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2），

由f'（x）＞0得x＞2或x＜1，∴函數f（x）的單調增區間為（﹣∞，1），（2，+∞）；

由f'（x）＜0得1＜x＜2，∴函數f（x）的單調減區間為（1，2）.

（2）由（1）知，函數f（x）在（1，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增

∴當x＝2時，函數f（x）取得最小值，f（x）min＝f（2），

x∈[1，+∞）時，恒成立等價于

即a2﹣a＜0，

∴0＜a＜1．