Question

【題目】已知⊙： 與⊙： ，以， 分別為左右焦點的橢圓： 經過兩圓的交點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）， 分別為橢圓的左右頂點， ， ， 是橢圓上非頂點的三點，若∥， ∥，試問的面積是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）的面積為定值3..

【解析】試題分析：（Ⅰ）依題意有，由橢圓定義知，解得點值，得出橢圓的方程；

（Ⅱ）由題可知， ，設， ，把直線的方程為與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系和韋達定理，即可求面積的定值.

試題解析：（Ⅰ）設兩圓的交點為，依題意有，

由橢圓定義知，解得；

因為， 分別為橢圓的左右焦點，所以，解得，

所以橢圓的方程為；

（Ⅱ）解法一 由題可知， ，設，∵是橢圓上的點，

∴，即，∴，

∵∥， ∥，∴,

∵、、是橢圓上非頂點的三點，∴直線的斜率存在且不為零，

設直線的方程為， ， ，

由，得，

由，得 （*）

且， ，

∴，

∵，∴，整理得，

代入（*）得，

∵ ，

原點到直線的距離，∴（定值）.

綜上所述， 的面積為定值3.（Ⅱ）解法二 同解法一可知，直線， 的斜率存在且不為零，且,……6分

設直線的方程為，則直線的方程為，設， ，

由得，用換可得，則，

因為，所以與異號，

∴（定值）.

綜上所述， 的面積為定值3.