Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，為棱的中點，.

（1）證明：平面；

（2）設二面角的正切值為，，為線段上一點，且與平面所成角的正弦值為，求.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）或..

【解析】試題分析：（1）證明線面平行只需在面內找一線與已知線平行即可，通常構建三角形中位線或者平行四邊形，根據題意我們可以取的中點，連接，∵側面為平行四邊形，∴為的中點，∴，又，∴，

∴四邊形為平行四邊形，則.進而得出結論（2）先求出二面角，過作于，連接，則即為二面角的平面角.然后建立空間直角坐標系求出面ABD的法向量和斜線CE的坐標，根據向量夾角公式得出等式即可求解.

解析：（1）證明：取的中點，連接，

∵側面為平行四邊形，∴為的中點，

∴，又，∴，

∴四邊形為平行四邊形，則.

∵平面，平面，∴平面.

（2）解：過作于，連接，

則即為二面角的平面角.

∵，，∴.

又，，∴.

以為原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，

則，，設平面的法向量，

則，即，令，得.

設，∵，∴ ，

∴與平面所成角的正弦值為 ，

∴，∴或，即或.