Question

【題目】高考數學試題中共有10道選擇題，每道選擇題都有4個選項，其中有且僅有一個是正確的．評分標準規定：“每題只選1項，答對得5分，不答或答錯得0分．”某考生每道題都給出了一個答案，已確定有6道題的答案是正確的，而其余題中，有兩道題都可判斷出兩個選項是錯誤的，有一道題可以判斷一個選項是錯誤的，還有一道題因不理解題意只能亂猜，試求出該考生：
（1）得50分的概率；
（2）得多少分的可能性最大；
（3）所得分數ξ的數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：得分為50分，10道題必須全做對．

在其余的四道題中，有兩道題答對的概率為 ，有一道題答對的概率為 ，還有一道答對的概率為 ，所以得分為5（0分）的概率為：P= × × × = ；

（2）解：依題意，該考生得分的范圍為{30，35，40，45，50}．

得分為30分表示只做對了6道題，其余各題都做錯，所以概率為：P1= × × × = ．

同樣可以求得得分為35分的概率為：P2= ﹣ × × × + × × × + × × × = ．

得分為40分的概率為：P3= ； 得分為4（5分）的概率為：P4= ；

得分為50分的概率為：P5= ．

所以得35分或得40分的可能性最大；

（3）解：由（2）可知ξ的分布列為：

ξ	30	35	40	45	50
P

∴Eξ=30× +35× +40× +45× +50× =

【解析】（1）根據題意，該考生10道題全答對即另四道題也全答對，根據相互獨立事件概率的乘法公式，計算可得答案．（2）該考生選擇題得分的可能取值有：30，35，40，45，50共五種．設選對一道“可判斷2個選項是錯誤的”題目為事件A，“可判斷1個選項是錯誤的”該題選對為事件B，“不能理解題意的”該題選對為事件C．得分為30，表示只做對有把握的那4道題，其余各題都做錯；得分為35時，表示做對有把握的那4道題和另外四題中的一題；得分為40時，表示做對有把握的那4道題和另外四題中的二題；得分為45時，表示做對有把握的那4道題和另外四題中的三題；得分為50時，表示10題全部做對，做出概率．（3）由題意知變量的可能取值分別是30，35，40，45，50，根據第二問做出的結果，寫出離散型隨機變量的分布列，根據期望的定義，即可求出期望
【考點精析】本題主要考查了離散型隨機變量及其分布列的相關知識點，需要掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列才能正確解答此題．