Question

已知橢圓C的長軸長與短軸長之比為，焦點坐標分別為F₁（-2，0），F₂（2，0）．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知A（-3，0），B（3，0），P是橢圓C上異于A、B的任意一點，直線AP、BP分別交y軸于M、N，求的值；
（3）在（2）的條件下，若G（s，0），H（k，0），且，（s＜k），分別以OG、OH為邊作兩正方形，求此兩正方形的面積和的最小值，并求出取得最小值時的G、H點坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意設出橢圓方程，由條件和a²=b²+c²求出a²和b²的值；
（2）設出點P的坐標和點A和B坐標，求出直線PA和PB的方程，令x=0求出點M和N坐標，即求出的坐標，由向量的數量積運算求出，根據點P在橢圓上求出值；
（3）由（2）求出點M和N坐標以及題意求出，根據向量數量積運算和求出關于sk的積，再由基本不等式求出面積的最小值，注意等號成立的條件，進而求出G、H點坐標．
解答：解：（1）由題意設橢圓C的標準方程是，
由題意知，又因a²=b²+c²，
解得a²=9，b²=5，
∴橢圓C的標準方程為．

（2）設P（x，y），∵A（-3，0），B（3，0），
∴直線，
令x=0，分別代入上面的直線方程得：M（0，），N（0，），
∴，，
∴=•=5．

（3）∵，
又∵，∴，
∴兩正方形的面積和為
當且僅當s²=k²=5時，等式成立，
∴兩正方形的面積和的最小值為10，此時G、H．
點評：本題考查了橢圓方程的求法以及橢圓的性質、向量數量積的幾何意義，利用a、b、c、e幾何意義和a²=b²+c²求出a和b的值，根據橢圓上點的坐標滿足方程求出數量積的值，根據基本不等式和條件求出最值，注意“一正二定三相等”的利用，此題綜合性強，涉及的知識多，考查了分析問題和解決問題的能力．