Question

拋物線C的頂點在坐標原點，對稱軸為y軸，C上動點P到直線l：3x+4y-12=0的最短距離為1，求拋物線C的方程．

Answer 1

解：直線l：3x+4y-12=0的斜率k=-，y軸上的截距：3，
拋物線如果開口向上，與直線l會相交，最短距離不會等于1，
所以拋物線開口向下，設其方程為：x²=2py，
拋物線上到直線l距離最短的點，是平行于l的拋物線的切線m的切點，
最短距離就是切線到l的距離．
設m的方程為3x+4y+q=0，令m和l的距離=1，
求得q=-7或-17，q=-17在l下方，舍去．所以m：3x+4y-7=0．
與拋物線方程x²=2py聯立，代入得2x²+3px-7p=0，
只有一個公共點，△=9p²+56p=p（9p+56）=0，得P=-
所以C的方程：x²=2（-）y，
即 9x²+112y=0
分析：根據直線方程可知直線的斜率和y軸上的截距，拋物線如果開口向上，與直線l會相交，最短距離不會等于1，進而可推斷出拋物線開口向下，設其方程，拋物線上到直線l距離最短的點，是平行于l的拋物線的切線m的切點，最短距離就是切線到l的距離．設出m的方程，利用點到直線的距離求得q，則m的方程可得．與拋物線方程聯立利用判別式等于0求得p，則拋物線的方程可得．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關系．一般是把直線與圓錐曲線的方程聯立，利用判別式與0的關系判斷出直線與圓錐曲線的交點．