Question

（2009•河西區二模）已知拋物線C的頂點在坐標原點O，準線方程是x=-2，過點M（-1，1）的直線l與拋物線C相交于不同的兩點A，B
（I）求拋物線C的方程及直線l的斜率k的取值范圍；
（Ⅱ）求|

AB

|（用k表示）

Answer 1

分析：（I）利用拋物線的準線方程即可得出p，進而得到拋物線方程，與直線l的方程聯立即可得到關于x的一元二次方程，利用△＞0即可得出（注意k=0時）；
（II）利用根與系數的關系和弦長公式即可得出．

解答：解：（I）由題意設C的方程為y²=2px（p＞0），由-

p

2

=-2，得p=4．
∴y²=8x．
設直線l的方程為y-1=k（x+1），由

y2=8x                  ① y-1=k(x+1)         ②

②代入①化簡整理得   k²x²+（2k²+2k-8）x+k²+2k+1=0，
因直線l與拋物線C相交于不同的兩點，
故△=（2k²+2k-8）²-4k²（k²+2k+1）＞0，
即k²+k-2＜0，解得-2＜k＜1，又k=0時僅交一點，
∴k∈（-2，0）∪（0，1）．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（I）知x1+x2=-

2k2+2k-8

k2

，x1x2=

k2+2k+1

k2

，
|

AB

|=

1+k2

|x2-x1|=

1+k2

•

△

k2

=

1+k2

•

64-32k-32k2

k2

=

4 1+k2 • 4-2k-2k2

k2

(k∈(-2，0)∪(0，1))．

點評：熟練掌握拋物線的標準方程及其性質、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立得到△＞0即根與系數的關系、弦長公式等是解題的關鍵．