Question

【題目】設為集合的子集，且，若，則稱為集合的元“大同集”.

（1）寫出實數集的一個二元“大同集”；

（2）是否存在正整數集的二元“大同集”，請說明理由；

（3）求出正整數集的所有三元“大同集”．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由詳見解析；（3）.

【解析】

（1）利用集合的元“大同集”的定義能求出實數集的一個二元“大同集”．

（2）由兩個不同的正整數之和不等于兩個不同的正整數之積，得到不存在正整數集的二元“大同集”．

（3）設正整數集的三元“大同集”為．則，利用列舉法能求出正整數集的所有三元“大同集”．

解：（1）∵設為集合的2元“大同集”.

則，

當時，，得

實數集的一個二元“大同集”為．

（2）不存在正整數集的二元“大同集”，

兩個不同的正整數之和不可能等于兩個不同的正整數之積，

不存在正整數集的二元“大同集”．

（3）設正整數集的三元“大同集”為．

則，

利用列舉法得，，的值分別為1，2，3，

正整數集的所有三元“大同集”為．