Question

已知函數(是常數)在處的切線方程為，且.
（Ⅰ）求常數的值；
（Ⅱ）若函數()在區間內不是單調函數，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）證明:.

Answer 1

（Ⅰ），，；（Ⅱ）實數的取值范圍是；（Ⅲ）詳見解析．

試題分析：（Ⅰ）求常數的值，由函數(是常數)在處的切線方程為，只需對求導，讓它的導數在處的值即為切線的斜率，這樣能得到的一個關系式，由，代入函數中，又得到的一個關系式，因為三個參數，需再找一個關系式，，注意到在切線上，可代入切線方程得到的一個關系式，三式聯立方程組即可，解此類題，關鍵是找的關系式，有幾個參數，需找幾個關系式；（Ⅱ）若函數()在區間內不是單調函數，即它的導函數在區間內不恒正或恒負，即在區間內有極值點，而，只要在區間內有解，從而轉化為二次函數根的分布問題，分兩種情況：在區間內有一解，在區間內有兩解，結合二次函數圖像，從而求出實數的取值范圍；（Ⅲ）證明:，注意到 ，只需證明在上即可，即，而，只需證明在上即可，而，即，只需證在上為減函數，這很容易證出，此題構思巧妙，考查知識點多，學科知識點融合在一起，的確是一個好題，起到把關題作用．
試題解析：（Ⅰ）由題設知，的定義域為,, 因為在處的切線方程為，所以,且，即,且， 又 ，解得，，，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 因此，，     
所以，令. （ⅰ）當函數在內有一個極值時，在內有且僅有一個根，即在內有且僅有一個根，又因為，當，即時，在內有且僅有一個根，當時，應有，即，解得，所以有. （ⅱ）當函數在內有兩個極值時，在內有兩個根，即二次函數在內有兩個不等根，所以，解得.      綜上，實數的取值范圍是．
（Ⅲ）因為，所以當時，有，所以在上為減函數，因此當時, ，即， 即當時, ， 所以對一切都成立，所以， ， ， …， ，所以 ， 所以.