Question

【題目】已知， 是的導函數.

（1）求的極值；

（2）證明：對任意實數，都有恒成立；

（3）若在時恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）．

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意得處，進而，分和兩種情況討論，即可求解；

（Ⅱ）由，則要證 ，只需證.

令，利用導數得出函數的性質，即可作出證明．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知恒成立，可得，分和兩種情況討論，即可求解實數的值．

試題解析：

（Ⅰ）， ， ，

當時， 恒成立， 無極值；

當時， ，即，

由，得；由，得，

所以當時，有極小值.

（Ⅱ）因為，所以，要證 ，只需證.

令，則，且，得； ，得，

∴在上單調遞減，在上單調遞增,

∴，即恒成立,

∴對任意實數，都有 恒成立.

（Ⅲ）令，則，注意到，

由（Ⅱ）知恒成立，故，

①當時， ， ，

于是當時， ，即成立.

②當時，由（）可得（）.

，

故當時， ，

于是當時， ， 不成立.

綜上， 的取值范圍為．