Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BE為⊙O的切線，點C為⊙O上不同于A，B的一點，AD為∠BAC的平分線，且分別與BC交于H，與⊙O交于D，與BE交于E，連接BD，CD.
 
(1)求證：BD平分∠CBE；
(2)求證：AH·BH＝AE·HC.

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

(1)由弦切角定理知∠DBE＝∠DAB.
又∠DBC＝∠DAC，∠DAB＝∠DAC，
所以∠DBE＝∠DBC，即BD平分∠CBE.
(2)由(1)可知BE＝BH，
所以AH·BH＝AH·BE，
因為∠DAB＝∠DAC，∠ACB＝∠ABE，
所以△AHC∽△AEB，
所以，即AH·BE＝AE·HC，
即AH·BH＝AE·HC.