已知A、B、C是橢圓W:
上的三個點,O是坐標(biāo)原點.
(I)當(dāng)點B是W的右頂點,且四邊形OABC為菱形時,求此菱形的面積；
(II)當(dāng)點B不是W的頂點時,判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說明理由。
(I)
.
(II)當(dāng)點B不是W的頂點時,四邊形OABC不可能是菱形.
解析試題分析：
思路分析：(I)根據(jù)四邊形OABC為菱形, AC與OB相互垂直平分. 注意確定
.
(II)假設(shè)四邊形OABC為菱形. 因為點B不是W的頂點,且直線AC不過原點,所以可設(shè)AC的方程為
.
由
消去
應(yīng)用韋達定理確定AC的中點為M(
,
).
得到直線OB的斜率為
. 因為
,所以AC與OB不垂直.所以當(dāng)點B不是W的頂點時,四邊形OABC不可能是菱形.
解：(I)橢圓W:的右頂點B的坐標(biāo)為(2,0).因為四邊形OABC為菱形,所以AC與OB相互垂直平分. 所以可設(shè)A(1,
),代入橢圓方程得
,即
. 所以菱形OABC的面積是
.
(II)假設(shè)四邊形OABC為菱形. 因為點B不是W的頂點,且直線AC不過原點,所以可設(shè)AC的方程為.
由消去并整理得
.
設(shè)A
,C
,則
,
.
所以AC的中點為M(,).
因為M為AC和OB的交點,所以直線OB的斜率為.
因為,所以AC與OB不垂直. 所以O(shè)ABC不是菱形,與假設(shè)矛盾.
所以當(dāng)點B不是W的頂點時,四邊形OABC不可能是菱形.
考點：橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，菱形的性質(zhì)。
點評：中檔題，涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，應(yīng)用韋達定理，簡化解題過程。
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知
為拋物線
的焦點，拋物線上點
滿足
（Ⅰ）求拋物線
的方程；
（Ⅱ）
點的坐標(biāo)為(
,
)，過點F作斜率為
的直線與拋物線交于
、
兩點，、兩點的橫坐標(biāo)均不為
，連結(jié)
、
并延長交拋物線于
、
兩點，設(shè)直線
的斜率為
,問
是否為定值，若是求出該定值，若不是說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
經(jīng)過點
且與直線
相切的動圓的圓心軌跡為
．點
、
在軌跡上，且關(guān)于
軸對稱，過線段
（兩端點除外）上的任意一點作直線
，使直線與軌跡在點處的切線平行，設(shè)直線與軌跡交于點
、
．
（1）求軌跡的方程；
（2）證明：
；
（3）若點到直線
的距離等于
，且△
的面積為20，求直線
的方程．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，橢圓
的左頂點為
，
是橢圓
上異于點的任意一點，點
與點關(guān)于點對稱．
（Ⅰ）若點的坐標(biāo)為
，求
的值；
（Ⅱ）若橢圓上存在點，使得
，求的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知拋物線
的焦點
以及橢圓
的上、下焦點及左、右頂點均在圓
上．
（1）求拋物線
和橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點的直線交拋物線于
兩不同點，交
軸于點
，已知
，則
是否為定值？若是，求出其值；若不是，說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知定圓
的圓心為
，動圓
過點
，且和圓相切，動圓的圓心的軌跡記為
．
(Ⅰ)求曲線的方程；
(Ⅱ)若點
為曲線上一點，試探究直線：
與曲線是否存在交點? 若存在，求出交點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知橢圓C的方程為
，其離心率為
，經(jīng)過橢圓焦點且垂直于長軸的弦長為3．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：
與橢圓C交于A、B兩點，P為橢圓上的點，O為坐標(biāo)原點，且滿足
，求
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y=x
－6x+1與坐標(biāo)軸的交點都在圓C上．
(Ⅰ)求圓C的方程；
(Ⅱ)試判斷是否存在斜率為1的直線，使其與圓C交于A， B兩點，且OA⊥OB，若存在，求出該直線方程，若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，雙曲線
與拋物線
相交于
，直線AC、BD的交點為P（0，p）。
（I）試用m表示
（II）當(dāng)m變化時，求p的取值范圍。
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