Question

【題目】已知 a∈R，函數 f（x）=a﹣ ．
（1）證明：f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞增；
（2）若f（x）為奇函數，求：
①a的值；
②f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）證明：證法一：設x1＜x2，

則 ， ，

則f（x1）﹣f（x2）=（a﹣ ）﹣（a﹣ ）= ＜0．

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

∴f（x1）＜f（x2），

故f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞增；

證法二：∵函數 f（x）=a﹣ ．

∴f′（x）= ，

∵f′（x）＞0恒成立，

故f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞增

（2）證明：①若f（x）為奇函數，

則 f（0）=a﹣ =0，

解得：a= ，

②f（x）= ﹣ ，

∵2x+1＞1，

∴0＜ ＜1，

故﹣ ＜f（x）＜ ，

故函數的值域為：（﹣ ， ）

【解析】（1）證法一：設x1＜x2 ， 作差比較作差可得f（x1）＜f（x2），根據函數單調性的定義，可得：f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞增；
證法二：求導，根據f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞增．（2）①若f（x）為奇函數，則 f（0）=0，解得a的值；
②根據①可得函數的解析式，進而可得f（x）的值域．
【考點精析】通過靈活運用函數的值域和函數單調性的判斷方法，掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較即可以解答此題．