Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是AB=2，BC= 的矩形，△PAB是等邊三角形，側面PAB⊥底面ABCD
（Ⅰ）證明：BC⊥面PAB
（Ⅱ）求側棱PC與底面ABCD所成的角．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵側面PAB垂直于底面ABCD，且側面PAB與底面ABCD的交線是AB，
在矩形ABCD中，BC⊥AB，
∴BC⊥側面PAB．
解：（Ⅱ）在側面PAB內，過點P做PE⊥AB．垂足為E，連接EC，
∵側面PAB與底面ABCD的交線是AB，PE⊥AB．
∴PE⊥底面ABCD．于是EC為PC在底面ABCD內的射影，
∴∠PCE為側棱PC與底面ABCD所成的角，
在△PAB和△BEC中，易求得PE= ，
在Rt△PEC中，∠PCE=45°（12分）

【解析】（Ⅰ）根據平面與平面垂直的性質定理，結合已知可證得BC⊥側面PAB；（Ⅱ）在側面PAB內，過點P做PE⊥AB．垂足為E，連接EC，根據線面所成角的定義可知∠PCE為側棱PC與底面ABCD所成的角，在Rt△PEC中，求出此角即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面垂直的判定和平面與平面垂直的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直．