Question

已知P（x，y）滿足約束條件

x+y-3≤0 x-y-1≤0 x-1≥0

，O為坐標原點，A（3，4），則|

OP

|•cos∠AOP的最大值是

11

5

．

Answer 1

分析：連接OA、OP、AP，由余弦定理的推論把cos∠AOP化為

| OA |2+| OP |2-| AP |2

2| OA || OP |

，代入兩點間的距離公式后展開整理，則|

OP

|•cos∠AOP的值化為

3x+4y

5

，進一步運用線性規劃知識求3x+4y的最大值即可．

解答：解：|

OA

|=

32+42

=5，|

OP

|2=x2+y2，|

AP

|2=(x-3)2+(y-4)2=x2+y2-6x-8y+25，
|

OP

|•cos∠AOP=|

OP

|×

| OA |2+| OP |2-| AP |2

2| OA || OP |

=

25+x2+y2-x2-y2+6x+8y-25

10

=

3x+4y

5

，
因為P（x，y）滿足約束條件

x+y-3≤0 x-y-1≤0 x-1≥0

，
可行域如圖，
要使

3x+4y

5

最大，首先作出直線3x+4y=0，由圖看出當直線平移經過直線x=1和x+y-3=0的交點（1，2）時3x+4y最大，
則

3x+4y

5

最大，值為

3×1+4×2

5

=

11

5

．
故答案為

11

5

．

點評：本題考查了簡單的線性規劃，考查了平面向量數量積的含義，考查了數學轉化思想和數形結合思想，解答此題的關鍵是把要求的式子轉化為含P點坐標的代數式，進一步運用線性規劃知識解決，此題有一定難度．