Question

（Ⅰ）設(shè)為正數(shù)，且，求證：；
（Ⅱ）設(shè)為正數(shù)，，求證：

Answer 1

（Ⅰ）為正數(shù)，且，由柯西不等式有：

，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
．                                ……………6分
（Ⅱ）證法一：用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)時(shí)，左邊=右邊； 當(dāng)時(shí)，左邊=右邊；
當(dāng)時(shí)，左邊右邊，
所以當(dāng)時(shí)，不等式成立；
②假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，
是正數(shù)，，

， ，

所以當(dāng)時(shí)不等式也成立，
綜合①②得當(dāng)為正數(shù)，時(shí)，成立． ……………12分
證法二：用構(gòu)造法證明：
設(shè)，則：，
是正數(shù)，
，又，，，
即當(dāng)為正數(shù)，時(shí)，成立．

略