Question

已知拋物線y²=8x與橢圓有公共焦點F，且橢圓過點D（-）．
（1）求橢圓方程；
（2）點A、B是橢圓的上下頂點，點C為右頂點，記過點A、B、C的圓為⊙M，過點D作⊙M的切線l，求直線l的方程；
（3）過點A作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于點P、Q，則直線PQ是否經過定點，若是，求出該點坐標，若不經過，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線y²=8x與橢圓有公共焦點F，確定c=2，利用橢圓過點D（-），代入橢圓方程，求出a，b，即可求橢圓方程；
（2）確定⊙M的方程，分類討論，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求得直線l的方程；
（3）設AP、AQ的方程代入橢圓方程，求得P，Q的坐標，可得直線PQ的方程，令x=0，即可得到直線PQ過定點．
解答：解：（1）拋物線y²=8x的焦點F（2，0），
∵拋物線y²=8x與橢圓有公共焦點F，∴c=2，
又橢圓過點D（-），∴，得a²=8，b²=4
∴所求橢圓方程為；
（2）由題意，A（0，2），B（0，-2），C（2，0），則
設M（m，0），由|MA|=|MC|，可得m²+4=（-m）²，∴m=，m²+4=，
∴⊙M：（x-）²+y²=
直線l斜率不存在時，x=-
直線l斜率存在時，設為y-=k（x+）
∴d==，解得k=-
∴直線l為x=-或x+12y-10=0；
（3）顯然，兩直線斜率存在，設AP：y=k′x+2
代入橢圓方程，得（1+2k′²）x²+8k′x=0，解得x=或x=0
∴點P（，）
同理得Q（，）
直線PQ：y-=（x-）             
令x=0，得y=-=-，
∴直線PQ過定點（0，-）．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查直線恒過定點，屬于中檔題．