Question

【題目】以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位，已知直線l的參數方程為 （t為參數，0＜φ＜π），曲線C的極坐標方程為ρcos2θ=8sinθ．
（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（2）設直線l與曲線C相交于A、B兩點，當φ變化時，求|AB|的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線l的參數方程為 消去參數可得：xcosφ﹣ysinφ+2sinφ=0；

即直線l的普通方程為xcosφ﹣ysinφ+2sinφ=0；

曲線C的極坐標方程為ρcos2θ=8sinθ．可得：ρ2cos2θ=8ρsinθ．

那么：x2=8y．

∴曲線C的直角坐標方程為x2=8y

（2）解：直線l的參數方程帶入C的直角坐標方程，可得：t2cos2φ﹣8tsinφ﹣16=0；

設A，B兩點對應的參數為t1，t2，

則 ， ．

∴|AB|=|t1﹣t2|= = ．

當φ= 時，|AB|取得最小值為8

【解析】（1）直接消去直線l的參數可得普通方程；根據ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2 ， 進行代換即得曲線C的直角坐標方程．（2）將直線l的參數方程帶入C的直角坐標方程；設出A，B兩點的參數，利用韋達定理建立關系求解最值即可．