Question

【題目】已知函數 有兩個極值點x1 ， x2 ， 其中b為常數，e為自然對數的底數．
（1）求實數b的取值范圍；
（2）證明：x1+x2＞2．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）的定義域為R，f'（x）=x+bex．

因為函數f（x）有兩個極值點x1，x2，所以f'（x）=x+bex有兩個變號零點，

故關于x的方程 有兩個不同的解，

令 ，則 ，

當x∈（﹣∞，1）時g'（x）＞0，當x∈（1，+∞）時，g'（x）＜0，

所以函數 在區間（﹣∞，1）上單調遞增，在區間（1，+∞）上單調遞減，

又當x→﹣∞時，g（x）→﹣∞；當x→+∞時，g（x）→0，且 ，

故 ，所以

（2）解：不妨設x1＜x2，由（1）可知，x1＜1＜x2，所以x1，2﹣x2∈（﹣∞，1），

因為函數 在區間（﹣∞，1）上單調遞增，

若x1+x2＞2即x1＞2﹣x2時，g（x1）＞g（2﹣x2）即g（x1）﹣g（2﹣x2）＞0．

又g（x1）=g（x2），所以g（x1）﹣g（2﹣x2）＞0可化為g（x2）﹣g（2﹣x2）＞0，

即 即 ，

令h（t）=e2t﹣e2t（2﹣t），則h（1）=0，h'（t）=e2﹣e2t（3﹣2t），

令φ（t）=h'（t），則φ（1）=0，φ'（t）=4e2t（t﹣1），

當t＞1時，φ'（t）＞0，所以h'（x）在區間（1，+∞）上單調遞增，則h'（t）＞h'（1）=0，

所以h（t）在區間（1，+∞）上單調遞增，h（t）＞h（1）=0．證畢

【解析】（1）求出函數的導數，問題轉化為關于x的方程 有兩個不同的解，令 ，則 ，根據函數的單調性求出b的范圍即可；（2）問題轉化為g（x2）﹣g（2﹣x2）＞0，即 ，令h（t）=e2t﹣e2t（2﹣t），根據函數的單調性得到h（t）＞0，從而證出結論．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．