Question

【題目】已知⊙O：x2+y2=1和點M（4，2）．
（Ⅰ）過點M向⊙O引切線l，求直線l的方程；
（Ⅱ）求以點M為圓心，且被直線y=2x﹣1截得的弦長為4的⊙M的方程；
（Ⅲ）設P為（Ⅱ）中⊙M上任一點，過點P向⊙O引切線，切點為Q．試探究：平面內是否存在一定點R，使得 為定值？若存在，請舉出一例，并指出相應的定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由⊙O：x2+y2=1得到圓心O（0，0）半徑r=1，
設切線l方程為y﹣2=k（x﹣4），
易得 ，解得 ，
∴切線l方程為 ；
（Ⅱ）圓心M到直線y=2x﹣1的距離d= = ，
設圓的半徑為r，則 ，
∴⊙M的方程為（x﹣4）2+（y﹣2）2=9；
（Ⅲ）假設存在這樣的點R（a，b），點P的坐標為（x，y），相應的定值為λ，
根據題意可得 ，
∴ ，
即x2+y2﹣1=λ2（x2+y2﹣2ax﹣2by+a2+b2）（*），
又點P在圓上∴（x﹣4）2+（y﹣2）2=9，
即x2+y2=8x+4y﹣11，代入（*）式得：
8x+4y﹣12=λ2[（8﹣2a）x+（4﹣2b）y+（a2+b2﹣11）]，
若系數對應相等，則等式恒成立，∴ ，
解得 ，
∴可以找到這樣的定點R，使得 為定值．
如點R的坐標為（2，1）時，比值為 ；點R的坐標為 時，比值為
【解析】（Ⅰ）找出圓的圓心坐標和半徑，設切線方程的斜率為k，由M的坐標和k寫出切線l的方程，然后利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d讓d等于半徑r得到關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，寫出直線l的方程即可；（Ⅱ）根據點到直線的距離公式求出M到已知直線的距離d，然后利用勾股定理即可求出圓M的半徑，根據圓心和半徑寫出圓的標準方程即可；（Ⅲ）假設存在這樣的R點，設出R的坐標，并設出P的坐標，根據圓的切線垂直于過切點的半徑得到三角形OPQ為直角三角形，根據勾股定理表示出PQ的長，然后利用兩點間的距離公式表示出PR的長，設PQ與PR之比等于λ，把PQ和PR的式子代入后兩邊平方化簡得到一個關系式記作（*），又因為P在⊙M上，所以把P的坐標當然到⊙M的方程中，化簡后代入到（*）中，根據多項式對應項的系數相等即可求出R的坐標和λ的值．