Question

為了倡導健康、低碳、綠色的生活理念，某市建立了公共自行車服務系統鼓勵市民租用公共自行車出行公共自行車按每車每次的租用時間進行收費，具體收費標準如下：
①租用時間不超過1小時，免費；
②租用時間為1小時以上且不超過2小時，收費1元；
③租用時間為2小時以上且不超過3小時，收費2元；
④租用時間超過3小時的時段，按每小時2元收費（不足1小時的部分按1小時計算）已知甲、乙兩人獨立出行，各租用公共自行車一次，兩人租車時間都不會超過3小時，設甲、乙租用時間不超過1小時的概率分別是0.4和0.5 ，租用時間為1小時以上且不超過2小時的概率分別是0.5和0.3.
（1）求甲、乙兩人所付租車費相同的概率；
（2）設甲、乙兩人所付租車費之和為隨機變量，求的分布列和數學期望E

Answer 1

（1）0.37；
（2）所以的分布列為：

	0	1	2	3	4
P	0.2	0.37	0.28	0.13	0.02

的數學期望

解析試題分析：（1）由題設，分別記“甲所付租車費0元、1元、2元”為事件 ，它們彼此互斥；分別記“乙所付租車費0元、1元、2元”為事件，它們也彼此互斥. 記甲、乙兩人所付租車費相同為事件M，則M=A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃，由此可求事件 的概率；
（2）據題意的可能取值為：0,1,2,3,4 其中表示甲乙的付車費均為0元，即事件 發生；
表示甲乙共付1元車費，即甲付1元乙付0元或甲付0元乙付1元，即事件 
表示甲乙共付2元車費，即甲付1元乙付1元或甲付0元乙付2元或甲付2元乙付0元，
即事件 
表示甲乙共付3元車費，即甲付1元乙付2元或甲付2元乙付1元，即事件 
表示甲乙共付4元車費，即甲付2元乙付2元，即事件 
由此可求出隨機變量 的分布列，并由公式求出 .
試題解析：
解：(1)根據題意，分別記“甲所付租車費0元、1元、2元”為事件A₁，A₂，A₃，它們彼此互斥，且,
分別記“乙所付租車費0元、1元、2元”為事件B₁，B₂，B₃，它們彼此互斥，且.   2分
由題知，A₁，A₂，A₃與B₁，B₂，B₃相互獨立， 3分
記甲、乙兩人所付租車費相同為事件M，則M=A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃，
所以P(M)=P(A₁)P(B₁)+ P(A₂)P(B₂)+ P(A₃)P(B₃)
=0.4×0.5＋0.5×0.3＋0.1×0.2=0.2＋0.15＋0.02=0.37;6分
(2) 據題意的可能取值為：0,1,2,3,4 , 7分
;
;
;
;
.10分
所以的分布列為：

	0	1	2	3	4
P	0.2	0.37	0.28	0.13	0.02

的數學期望,11分
答：甲、乙兩人所付租車費相同的概率為0.37，的數學期望E=1.4.  12分
考點：1、互斥事件、獨立事件、和事件；2、離散型隨機變量的分布列與數學期望.