Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），若以直角坐標系中的原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（為實數.）

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）若曲線與曲線有公共點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）， ， （2）

【解析】試題分析：（1）先根據三角函數平方關系消參數得曲線的普通方程，注意參數對自變量范圍的限制，再根據將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）聯立直線方程與拋物線段方程，求出相切時以及過端點時的取值，結合圖像確定的取值范圍.

試題解析：解：（Ⅰ）因為，所以．

由

平方得：

又

兩式相減得，

故曲線的普通方程為， ．

另由得的直角坐標方程為．

（Ⅱ）如圖，當直線過點時， ；

當直線與相切時，

由得

由得，

從而，曲線與曲線有公共點時， ．