Question

(本小題滿分14分)
已知橢圓的中心是坐標原點，焦點在x軸上，離心率為，又橢圓上任一點到兩焦點的距離和為，過點M（0，）與x軸不垂直的直線交橢圓于P、Q兩點.
(1)求橢圓的方程；
(2)在y軸上是否存在定點N，使以PQ為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出N的坐標，若不存在，說明理由.

Answer 1

(1)  (2)先假設存在，聯立方程組，利用·可以求出存在
N(0,1)滿足要求

試題分析：(1)因為離心率為，又，∴a=，c=1,
故b=1，故橢圓的方程為.                                     ……4分
(2)由題意設直線的方程為y=kx－,
聯立方程得(2k²+1)x²－kx－=0，
設P(x₁, y₁)，Q(x₂, y₂)，
則x₁+x₂=，x_1·x₂=，                                   ……8分
假設在y軸上存在定點N（0，m）滿足題設，則
 ，，
·= x₁x₂+(y₁－m)(y₂－m)= x₁x₂+ y₁y₂－m(y₁+y₂) +m²
= x₁x₂+(kx₁－)( kx₂－)－m(kx₁－+ kx₂－) +m²
=(k²+1) x₁x₂－k(+m)(x₁+x₂)+m²+m+
=－k(+m)+m²+m+
=，                                         ……12分
由假設得對于任意的k∈R，·=0恒成立，
即解得m=1，
因此，在y軸上存在定點N，
使得以PQ為直徑的圓恒過這個點，點N的坐標為(0,1).                      ……14分
點評：對于探究性問題，一般是先假設存在，然后計算，如果能求出，則說明存在，如果求不出或得出矛盾，則說明不存在.