Question

【題目】一位幼兒園老師給班上k（k≥3）個小朋友分糖果．她發現糖果盒中原有糖果數為a0，就先從別處抓2塊糖加入盒中，然后把盒內糖果的分給第一個小朋友；再從別處抓2塊糖加入盒中，然后把盒內糖果的分給第二個小朋友；…，以后她總是在分給一個小朋友后，就從別處抓2塊糖放入盒中，然后把盒內糖果的分給第n（n=1，2，3，…k）個小朋友．如果設分給第n個小朋友后（未加入2塊糖果前）盒內剩下的糖果數為an．

（1）當k=3，a0=12時，分別求a1，a2，a3；

（2）請用an-1表示an；令bn=（n+1）an，求數列{bn}的通項公式；

（3）是否存在正整數k（k≥3）和非負整數a0，使得數列{an}（n≤k）成等差數列，如果存在，請求出所有的k和a0，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）a1=7，a2=6，a3=6 （2）an=（an-1+2），bn=n（n+1）+a0 （3）存在，當a0=0時，an=n，對任意正整數k（k≥3），有{an}（n≤k）成等差數列．

【解析】

（1）由題意知：an＝（an﹣1+2）（an﹣1+2），將k＝3，a0＝12代入可得a1，a2，a3；

（2）將an＝（an﹣1+2）（an﹣1+2）變形得（n+1）an＝n（an﹣1+2）＝nan﹣1+2n，即bn﹣bn﹣1＝2n，利用累加法可得bn﹣b0＝n（n+1），進而得到數列{bn}的通項公式；

（3）由（2）得an＝n，根據等差數列滿足a1+a3＝2a2，代入求出a0＝0，an＝n時，滿足條件．

（1）當k＝3，a0＝12時，

a1＝（a0+2）（a0+2）＝7，

a2＝（a1+2）（a1+2）＝6，

a3＝（a2+2）（a0+2）＝6，

（2）由題意知：an＝（an﹣1+2）（an﹣1+2）（an﹣1+2），

即（n+1）an＝n（an﹣1+2）＝nan﹣1+2n，

∵bn＝（n+1）an，

∴bn﹣bn﹣1＝2n，

∴bn﹣1﹣bn﹣2＝2n﹣2，

…

b1﹣b0＝2，

累加得bn﹣b0n（n+1）

又∵b0＝a0，

∴bn＝n（n+1）+a0，

（3）由bn＝n（n+1）+a0，得an＝n，

若存在正整數k（k≥3）和非負整數a0，使得數列{an}（n≤k）成等差數列，

則a1+a3＝2a2

即（1a0）+3a0＝2（2a0）

∴a0＝0

即當a0＝0時，an＝n，對任意正整數k（k≥3），有{an}（n≤k）成等差數列．