Question

（1）設f（x）是定義在R上奇函數，且當x＞0時，f（x）=2^x-3，則當x＜0時，f（x）表達式為

 

．
（2）設f（x）是定義在R上奇函數，且f（x+1）=-f（x），當x∈（0，1）時，f（x）=2^x-3，則x∈（3，4）時，f（x）表達式為

 

．

Answer 1

分析：（1）設x＜0，則-x＞0，適合x＞0時，f（x）=2^x-3，求得f（-x），再由奇函數求得f（x）．
（2）用f（x+1）=-f（x），以及是奇函數，可以求得函數是周期函數，可由x∈（0，1）時的解析式求x∈（-1，0）時的解析式，利用周期性求得x∈（3，4）時，f（x）表達式．

解答：解：（1）設x＜0，則-x＞0，
∴f（-x）=2^-x-3，
∵f（x）為定義在R上的奇函數
∴f（x）=-f（-x）=-2^-x-3=-(

1

2

)x+3，
∴當x＜0時，f（x）=-(

1

2

)x+3；
（2）因為x∈（0，1）時，f（x）=2^x-3，
設x∈（-1，0）時，-x∈（0，1），
∴f（-x）=2^-x-3，
∵f（x）為定義在R上的奇函數
∴f（x）=-f（-x）=-2^-x-3=-(

1

2

)x+3，
∴當x∈（0，1）時，f（x）=-(

1

2

)x+3；
所以x∈（3，4）時，x-4∈（-1，0），
∴f（x-4）=-(

1

2

)x-4+3；
∵f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
∴f（x）是以2為周期的周期函數，
f（x-4）=f（x）=-(

1

2

)x-4+3；
∴x∈（3，4）時，f（x）=-(

1

2

)x-4+3；
故答案為：f（x）=-(

1

2

)x+3，f（x）=-(

1

2

)x-4+3．

點評：本題綜合考查函數奇偶性與周期性知識的運用，把要求區間上的問題轉化到已知區間上求解，是解題的關鍵，體現了轉化的數學思想方法．屬中檔題．