Question

【題目】已知數列的滿足，前項的和為，且.

（1）求的值；

（2）設，證明：數列是等差數列；

（3）設，若，求對所有的正整數都有成立的的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：(1)令得 (2) 因為，所以①.所以②，由②-①，得.因為，所以.所以，即，

即即可得證（3）由（2）知，因為，所以數列的通項公式為.因為，所以，所以，所以數列是常數列. 由，所以.所以.研究數列的單調性求出最小值，變量分離即可得解.

試題解析：

（1）令得.

（2）因為，所以①.

所以②，

由②-①，得.

因為，所以.

所以，即，

即，所以數列是公差為1的等差數列.

（3）由（2）知，因為，所以數列的通項公式為.

因為，所以，

所以，所以數列是常數列.

由，所以.

所以.

因為

所以數列為單調遞增數列

當時， ，即的最小值為

由，所以，

而當時， 在遞減， 遞增，所以，

當且僅當或時取得，故.